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Welche Algorithmen zum iterativen Lösen von Gleichungssystemen („Konvergenz-Algorithmen“) kennen Sie (keine Formeln erforderlich)? Worauf beruhen sie? Wann werden sie eingesetzt? Erläutern Sie die Unterschiede!

Man unterscheidet Verfahren, die auf direkter Substitution beruhen (Direkte Substitution, Wegstein-Methode) und Verfahren die auf dem Netwon-Verfahren basieren (Newton-Verfahren, Secant-Verfahren, Broyden-Verfahren).

Bei der Direkten Substitution wird der errechnete Wert ri (basierend auf der Schätzung Zi) mit dem Schätzwert des Schnittstrom Zi+1 gleichgesetzt.

Beim Newton-Verfahren wird, wenn man einen kleinen Teil einer Funktion kennt, in einem Punkt linearisiert und der Nullpunkt der Tangente berechnet (erste Näherung der Nullstelle der betrachteten Funktion). Der berechnete Wert dient als Ausgangspunkt für einen weitere Schritt, usw. Das lterationsverfahren konvergiert unter bestimmten Bedingungen.
 
  • Direkte Substitution:
    stabil, langsam nahe der Lösung, keine Möglichkeit Konvergenz-Parameter zu beeinflussen
  • Wegstein Methode:
    Konvergenzbeschleunigung/-dämpfung, sehr rasch und zuverlässig, Einflussnahme auf die Konvergenz möglich
  • Newton-Verfahren:
    Gute Startwerte notwendig (Nahe der Lösung), Berechnung der Jacobimatrix aufwändig, Einflussnahme auf Konvergenz möglich.
  • Secant-Verfahren (Quasi-Newton-Verfahren):
    Abschätzung der Ableitung in der Jacobimatrix, Gut für nicht­monotone Funktionen bzw. bei Diskontinuität.
  • Broyden-Verfahren (Quasi-Newton-Verfahren):
    Approximation der Jacobimatrix, kann oszilierendes Konvergenzverhalten beheben, effizienter als Newton - nicht so robust, keine Anpassung der Konvergenzparameter möglich, Initialisierung über direkte Substitution.

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