Kleinsche Vierergruppe: Rechteck

Question

Answer 1

Die Vierergruppe V tritt als die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks auf.

Die vier Elemente sind dabei: 1 als die Identität (oder Drehung um 0°), a als die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, b als die Spiegelung an der waagrechten Mittelachse, und a⋅b als die 180°-Drehung um den Mittelpunkt, welche auch als kombinierte horizontale und vertikale Spiegelung aufgefasst werden kann. Mit den wie oben beschrifteten Ecken eines Rechtecks liefert die Permutationsdarstellung

(A, B, C, D) ↦ (A, B, C, D), das Element 1 darstellend

(A, B, C, D) ↦ (B, A, D, C), das Element a darstellend

(A, B, C, D) ↦ (D, C, B, A), das Element b darstellend

(A, B, C, D) ↦ (C, D, A, B), das Element a⋅b darstellend

und mit Notation der Permutationen in Zykelschreibweise

V = {id = (A)(B)(C)(D), (A,B)(C,D), (A,D)(B,C), (A,C)(B,D)}

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