Eigenschaften Normalteiler (5x)

Question

Answer 1

Man kann zeigen, dass für eine Untergruppe N ⊆ G folgende fünf Aussagen paarweise äquivalent sind:

Für jedes g ∈ G gilt gNg⁻¹= N (Man sagt auch: N ist invariant unter der Konjugation mit g)
Für jedes g ∈ G und jedes n ∈ N gilt gng⁻¹ ∈ N, das heißt ∀ g ∈ G: gNg⁻¹ ⊆ N.
Für jedes g ∈ G stimmt die linke mit der rechten Nebenklasse von N überein: ∀ g ∈ G : gN = Ng.
Die Menge N ist eine Vereinigung von Konjugationsklassen der Gruppe G.
Es existiert ein Gruppenhomomorphismus aus G dessen Kern N ist.

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