Sei A eine Menge. In welcher Beziehung stehen die Menge aller Äquivalenzrelationen auf A und die Menge aller Partitionen von A?

Question

Answer 1

Die Äquivalenzrelationen auf A entsprechen genau den Partitionen von A:

a) Ist A die disjunkte Vereinigung von A_i (i∈I) eine Partition von A, so ist eine Äquivalenzrelation ~ auf A gegeben durch: a₁ ~ a₂ ⇔ ∃i∈I: a₁,a₂∈A_i. Die Äquivalenzklassen von ~ sind genau die A_i;

b) Ist ~ eine Äquivalenzrelation auf A, so bilden die Äquivalenzklassen eine Partition von A;

c) Die durch (a) und (b) erklärten Abbildungen sind beidseitig invers zueinander, also bijektiv.

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