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Zuletzt bearbeitet: 15.02.2019 17:19:41 von MoSunchess
Zuletzt abgefragt: 30.11.-0001 00:00:00
D Untergruppen
Erzeugnis der Diedergruppe
Erzeugnis der Diedergruppe
Erzeugnis der Diedergruppe
Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe Dn. Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene. Sie besteht aus 2n Elementen, nämlich den n Drehungen r0, …, rn−1und den n Spiegelungen s0, …, sn−1. Die Drehung rk dreht das Polygon dabei um den Winkel 2πk/n und die Spiegelung sk spiegelt es an einer Achse, die im Winkel πk/n geneigt ist.
Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist
M = {r1,s0}
denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von r1 dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt rk = r1kund jede Spiegelung durch Anwendung von s0 und einer nachfolgenden Drehung, also sk = r1ks0. Die Spiegelung s0 kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung sk ersetzt werden.
Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem
M = {s0,s1}
bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung r1 hat die Darstellung r1 = s1s0 und {r1,s0} wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert.
Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe Dn. Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene. Sie besteht aus 2n Elementen, nämlich den n Drehungen r0, …, rn−1und den n Spiegelungen s0, …, sn−1. Die Drehung rk dreht das Polygon dabei um den Winkel 2πk/n und die Spiegelung sk spiegelt es an einer Achse, die im Winkel πk/n geneigt ist.
Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist
M = {r1,s0}
denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von r1 dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt rk = r1kund jede Spiegelung durch Anwendung von s0 und einer nachfolgenden Drehung, also sk = r1ks0. Die Spiegelung s0 kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung sk ersetzt werden.
Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem
M = {s0,s1}
bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung r1 hat die Darstellung r1 = s1s0 und {r1,s0} wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert.
Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe D n . Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene. Sie besteht aus 2n Elementen, nämlich den n Drehungen r 0 , …, r n−1 und den n Spiegelungen s 0 , …, s n−1 . Die Drehung r k dreht das Polygon dabei um den Winkel 2πk/n und die Spiegelung s k spiegelt es an einer Achse, die im Winkel πk/n geneigt ist. Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist M = {r 1 ,s 0 } denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von r 1 dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt r k = r 1 k und jede Spiegelung durch Anwendung von s 0 und einer nachfolgenden Drehung, also s k = r 1 k s 0 . Die Spiegelung s 0 kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung s k ersetzt werden. Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem M = {s 0 ,s 1 } bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung r 1 hat die Darstellung r 1 = s 1 s 0 und {r 1 ,s 0 } wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert.
Stichworte
Mit Repetico PRO kannst du der Karte Stichworte zuordnen. Stichworte können verwendet werden, um Karten zu einem bestimmten Thema auch Kartensatz-übergreifend zu lernen.
