Erzeugnis der Gruppe der rationalen Zahlen

Question

Answer 1

Ein Beispiel für eine nicht endlich erzeugte Gruppe ist die Gruppe (Q,+) der rationalen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Diese Gruppe wird beispielsweise von der Menge der Stammbrüche

M = {1/1,1/2,1/3, …}

erzeugt. Sie lässt sich jedoch von keiner endlichen Menge {q₁, …,q_n} rationaler Zahlen erzeugen. Zu jeder solchen Menge lässt sich nämlich eine weitere rationale Zahl r finden, die sich nicht als Summe der Zahlen q₁, …, q_n und ihrer Gegenzahlen darstellen lässt. Hierzu wird einfach der Nenner der Zahl r teilerfremd zu den Nennern der Zahlen q₁, …, q_n gewählt.

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