6. Gruppen und Geometrie

A Gruppenhomomorphismus

Gruppenhomomorphismus: 2 nichttriviale Beispiele

  • Betrachte die additive Gruppe (Z,+) der ganzen Zahlen und die Faktorgruppe (Z/3Z,+) = {0+3Z,1+3Z,2+3Z}. Die Abbildung p: Z → Z/3Z, p(z) = z mod 3 = z + 3Z, ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist surjektiv und sein Kern besteht aus der Menge 3Z aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen.
  • Die Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe (R,+) der reellen Zahlen R und der multiplikativen Gruppe (R,⋅) der reellen Zahlen ungleich 0, denn exp(x+y) = exp(x)⋅exp(y). Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.

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