6. Gruppen und Geometrie

B Orthogonale Abbildungen

Euklidisches Skalarprodukt: Bilinearität

Es ist bilinear, das heißt linear sowohl im ersten Argument, da
 
⟨λx,y⟩
= (λx1)y1+ ⋯ +(λx1)yn
= λ(x1y1+ ⋯ +xnyn)
= λ⟨x,y⟩
 
und
 
⟨x+y,z⟩
= (x1+y1)z1+ ⋯ +(xn+yn)zn
= (x1z1+ ⋯ +xnzn)+(y1z1+ ⋯ +ynzn)
= ⟨x,z⟩+⟨y,z⟩
 
als auch im zweiten Argument, da
 
⟨x,λy⟩
= x1(λy1)+ ⋯ +xn(λyn)
= λ(x1y1+ ⋯ +xnyn)
= λ⟨x,y⟩
 
und
 
⟨x,y+z⟩
= x1(y1+z1)+ ⋯ +xn(yn+zn)
= (x1y1+ ⋯ +xnyn)+(x1z1+ ⋯ +xnzn)
= ⟨x,y⟩+⟨x,z⟩

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