Kosinussatz im Vektorraum V mit Skalarprodukt

Question

Answer 1

Mit Vektoren in reellen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen V mit Skalarprodukt ⟨⋅,⋅⟩, kann der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet

‖a‖ = √⟨a,a⟩ = √(|a₁|² + ... + |a_n|²)

die Skalarproduktnorm, also die Länge, eines Vektors a ∈ V mit

cos(θ)_a,b = ⟨a,b⟩ / (‖a‖⋅‖b‖)

den Winkel zwischen den beiden Vektoren a, b ∈ V, dann gilt für die Norm des Vektors c = b−a:

‖c‖²

= ‖b−a‖²

= ⟨b−a,b−a⟩

= ⟨b,b⟩−⟨b,a⟩−⟨a,b⟩+⟨a,a⟩

= ‖a‖²+‖b‖²−2⟨a,b⟩

= ‖a‖²+‖b‖²−2⋅‖a‖⋅‖b‖⋅cos(θ)_a,b

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